Full text: Ueber partielle Differentialgleichungen, die in der Variationsrechnung vorkommen

7 
die Schwierigkeit der Aufgabe liegt, noch garnicht auf, so dass dieser Schluss 
ohne weiteres gemacht werden kann. Erst die Behandlung von Fällen, wo n > 8 
ist, giebt daher eine sichere Grundlage für die Vermutung, dass das Theorem I 
allgemeine Gültigkeit habe. 
2) Da das Verfahren eines Schlusses von n — 1 auf n auf algebraische Schwierig 
keiten stiess, habe ich auch den Versuch gemacht, das System (S) auf direktem 
Wege zu integrieren. Bei der Durchführung der sehr mühsamen Rechnung kam 
ich indes zum Schluss auf ein ganz analoges algebraisches Problem, dessen Lösung 
mir ebenfalls nur für die Fälle «Sü 7 gelang. Die grosse Verwickelung der 
Formeln liess aber eine Darstellung des Beweises auf diesem Wege nicht als 
angebracht erscheinen. 
In § 6 werden unter der Annahme, dass n eine Zahl bedeute, für die das 
Theorem I Gültigkeit hat, diejenigen Relationen entwickelt, die für die Koeffi 
zienten der Subdeterminanten aus der Bedingung folgen, dass dF sich selbst- 
adjungiert ist. Man erhält diese Relationen, wenn man den für F gefundenen 
Wert in (1) einsetzt und die dadurch entstandenen Gleichungen in allgemeinster 
Weise identisch erfüllt. 
Der zweite Abschnitt dient dem Nachweise, dass F auf die Form V (f) 
gebracht werden kann. Zu diesem Zwecke werden in § 7 zunächst die beiden 
allgemeinen Sätze bewiesen: 
1) Lässt sich der Differentialausdruck zweiterOrdnungF von 
der Beschaffenheit, dass sein SF sich selbst adjungiert ist, auf 
die Form V(f) bringen, so ist/in Bezug auf die zweiten Ableitung en 
ein Ausdruck derselben Structur wie F. 
2) Ist (p eine lineare Funktion der Subdeterminanten der 
symmetrischen Determinante | y n y 12 ...y K , |, so hat V(<p) dieselbe 
Beschaffenheit. 
Der Beweis des Satzes 2) wird durch ausführliche Entwickelung des Aus 
druckes V(cp) erbracht. In § 8 werden sodann geeignet construierte Grössen V(<p) 
in der entwickelten Form dazu benutzt, um durch ihre Subtraktion von F diesen 
Ausdruck nach und nach zu Null zu machen. Nachdem das Verfahren zuerst 
in allgemeiner Weise skizziert ist, wird es für n — 4 und n — 5 wirklich 
durchgeführt und so wenigstens für diese Werte von n der Beweis erbracht für 
das Theorem : 
II. Hat der Differentialausdruck 
F(x!,*,,•••,*.; y; y 1 ,y i , • • -,y u ; y nt y lt , • •., y„) 
die Eigenschaft, dass sein dF sich selbst adjungiert ist, so lässt 
sich stets durch Qua dratur en eine Funktion f, die selbst von der 
zweiten Ordnungist, ermitte 115, v ermöge derenP’in derFormF(/)dar- 
gestellt werden kann. Die Differentialgleichung F= 0 ist also
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.