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Herr Hirsch bezeichnet es als wahrscheinlich, dass auch bei beliebig vielen 
unabhängigen Veränderlichen der Rückschluss von der genannten Eigenschaft des 
Ausdruckes dF auf die Structur der Funktion F gestattet ist, begnügt sich aber 
mit der Untersuchung des besonderen Falles, dass man sich auf partielle Differen 
tialausdrücke zweiter Ordnung mit 2 und 3 unabhängigen Variabein beschränkt, „da 
dem Nachweise der Richtigkeit dieser Vermutung grössere Schwierigkeiten ent 
gegenzustehen scheinen“. 
Er hat dabei folgende Ergebnisse gewonnen: 
Man setze: 
dy d 2 y 
y* dx, ’ dx i dx k ’ 
und es liege ein partieller Differentialausdruck zweiter Ordnung 
F(x 1 , x 2 ,..., x n j y; y x , y t , ..., y n j y llf y n ,..., 2/ n „) 
vor. Damit dF sich selbst adjungiert ist, muss sein: 
dF „ dF dF 
öF - it u+ ^w< Ui+ Mk *y: Ui ' 
dF _ d 
= -ä~u—2j- 
dF 
-— u 
+s 
d 2 
dF 
dx, dx k 
dy« 
dy idy.ldy, . 
» 
Führt man noch nach dem Vorgänge von Kronecker das Zeichen d« ein, 
das, wenn i 4= Je ist, den Wert Null hat, wenn i — Je ist, den Wert 1 darstellt, 
so ergeben sich hieraus durch Vergleichung folgende 2 Gruppen von Relationen: 
(1) 
(2) 
d 
äi äx t [ dy«_ 
dF 
d 2 
dx.dx h 
dF 
idyj 
dF 
dy, 
d rdFl 
(1 + <U = 2 
MW- (a " i ’ 2: 
(k = 1,2,...,n) 
= 1,2,...,«) 
Da jedoch die Relationen der zweiten Gruppe eine unmittelbare Konsequenz 
der Relationen der ersten Gruppe sind, genügt es, diese allein zu beachten. 
Entwickelt man den Ausdruck auf der linken Seite und fasst die Terme für 
sich zusammen, welche die dritten Ableitungen von y enthalten, so findet man 
weiter 
£ £ i ^^-(i+^)(i+dj 2/uvi = o. (* = i,2,...,«) 
•=1 n, v=l v !fa 
Damit dF sich selbst adjungiert ist, muss daher das System von Differential 
gleichungen 
d ’ F (i+K) (i + V> + (i+K) 0 + K.)+ 
i d/J« dy 
(S) 
d 2 F 
dy ifl dy vl 
(1 + dj,.) (1 + SJ) — 0 
dy« dy tfl 
v= 1,2,...,«) 
erfüllt sein,