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Dass diese Eigenschaft der Differentialgleichungen der Variationsrechnung eine 
charakteristische ist, hat Herr Hirsch gezeigt, indem er folgenden Satz bewies: 
Wenn die Funktion F (x, y, y', • • •, «/ (2h) ) von der geraden Ordnung 
2n die Eigenschaft hat, dass der aus ihr abgeleitete lineare ho 
mogene Differentialausdruck 
ÖF 
_ dF 
~~ *=o 
u 
l») 
sich selbst adjungiert ist, so lässt sich durch Quadraturen eine 
Funktion f(x,y, y', ■ • • y w ) ermitteln derart, dass F mit Hülfe von 
f in der Form dargestellt werden kann 
äf 
W' 
Die Differentialgleichung F = 0 ist mithin der Aufgabe 
der Variationsrechnung äquivalent, das Integral 
J= pn*, y, y',---,y w )dx 
zu einem Extremum zu machen. 
Diese Fragestellung lässt sich sofort auf vielfache Integrale und partielle 
Differentialgleichungen übertragen. Es seien x x , x 2 , • • •, x n n unabhängige Ver- 
änderliche, y eine unbekannte Funktion von ihnen. Es werde ferner 
+ b v» 
y^i v a ...v n 
dx l dx a ... dx n 
gesetzt: dann muss eine Funktion y, die das «fache Integral 
f f(x v x it ...,x H -, y\...y ...) dx,dx,... dx, 
zu einem Extremum macht, der partiellen Differentialgleichung genügen 
jV x + V t -\ \-V n Qf 
dy Vl v 3 ...v n 
= o. 
F = V(f) (—l) Vl +1,3 " l ^ — * 1 
dx t dx t ... dx n 
Auch hier hat F, wie Herr Hirsch zeigt, stets die Eigenschaft, dass der 
lineare homogene Dififerentialausdruck 
öF = 2 
dF 
d V V l V f' V n 
' J dv l V, . .. v n 
sich selbst adjungiert ist, dass also die Identität 
V er , = V,_ 1 ,-.+..+-+..£V!±VAf_«_ 
r ‘ Va "' 1 '“ ^ dx?dxl*...dx v „" \- dyv i v *--- v * 
besteht.