Full text: Ueber partielle Differentialgleichungen, die in der Variationsrechnung vorkommen

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Einleitung“. 
§ 1. 
Da die folgenden Untersuchungen in Fragestellung und Methode an eine 
Abhandlung von Herrn Hirsch 1 ) anknüpfen, mögen zunächst dessen Resultate 
kurz wiedergegeben werden. 
In der Variationsrechnung beginnt man mit der Aufgabe, eine Funktion y 
von x so zu bestimmen, dass das Integral 
C x i 
/ f(*, 
«A» 
y,y'r--, y w ) dx 
ein Maximum oder Minimum wird, wenn f eine gegebene Funktion ihrer Argu 
mente ist, und zeigt, dass die gesuchte Funktion y der Differentialgleichung 
F(x, y,y',..., yW) = V (f) = 2 (-1)‘ 
*=o 
d k 
ran 
dx* 
= 0 
genügen muss, die von der 2n ten oder einer geringeren aber, wie man weiss 2 ), 
jedenfalls geraden Ordnung ist. 
Die Funktion F hat, wie J a c o b i gezeigt hat 3 ), die merkwürdige Eigen 
schaft, dass der aus ihr abgeleitete lineare homogene Differentialausdruck 
2h ßf 
SF = 2 
*=o dy 
sich selbst adjungiert ist, d. h. dass die Identität 
2n ßjf 2» QTT 
*=ody w } dx* [dy lk> 
besteht; u bedeutet dabei eine willkürliche Funktion von x. 
1) A. Hirsch, Ueber eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgleichungen der 
Variationsrechnung. Math. Annalen Bd. 49. 1897, S. 49—72. 
2) GLFrobenius, Ueber adjungierte lineare Differentialausdrücke. Journal für Mathematik 
Bd. 85. 1878, S. 206. 
3) C. G. J. J a c o b i, Zur Theorie dtf Variationsrechnung und der Differentialgleichungen. 
Journal für Mathematik, Bd. 17. 1837, S. 68—82; wieder abgedruckt Ges. Werke, Bd. 4, 
S. 39—55 und Ostwald’s Klassiker Nr. 47, S. 87—98.
	        
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