38 
Dieser Ausdruck ist dann und nur dann frei von den vierten Ableitungen, wenn 
V A 
£idx c 
df 
(1 + dJ 
frei von den dritten Ableitungen ist. Gerade aus dieser Forderung war aber 
in § 1 das System (S) hervorgegangen. Wir erhalten also: 
Satz 1: Ist V(f) zugleich mit/'selbst ein Differentialausdruck 
zweiterOrdnung, so ist/’in Bezug auf die zweitenAbleitungen 
ein Ausdruck derselben Beschaffenheit wie der Diffentia 1 aus- 
druck zweiter Ordnung F unter der Voraussetzung, dass SF 
sich selbst adjungiert ist. 
Eine unmittelbare Konsequenz dieses Satzes ist: 
Lässt sich der Differentialausdruck zweiter Ordnung F von der Beschaffen 
heit, dass dF sich selbst adjungiert ist, auf die Form V{f) bringen, so hat f in 
Bezug auf die zweiten Ableitungen dieselbe Form wie F. 
Für 7 ist dann also auch f eine lineare Funktion von J und den Sub 
determinanten von z1. 
Umgekehrt gilt: 
Satz 2: Ist der Diffentialausdruck zweiter Ordnung f eine 
lineare Verbindung der symmetrischen Determinante A und 
ihrer Subdeterminanten, so hat V(f) dieselbe Beschaffenheit. 
Der Beweis dieses Satzes soll durch vollständige Entwickelung des Aus 
druckes V(q>) geführt werden, wo cp ein beliebiges Glied eines Aggregates von 
der obigen Beschaffenheit ist. 
Es sei: 
wo M nur 
9 
/« 
W, 
enthält. 
Dann ist: 
x. 
y; y.> 
y« 
Die drei Summanden der rechten Seite seien der Kürze halber der Reihe 
nach mit (a), (6) und (c) bezeichnet: 
[F(<p) = (a)+ (*) + (*)].