Full text: Ueber partielle Differentialgleichungen, die in der Variationsrechnung vorkommen

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Das Resultat der gesamten bisherigen Untersuchung sei hier noch einmal 
zusammengefasst. 
Für w<7 ist bewiesen, für n> 7 äusserst wahrscheinlich gemacht: 
Ist derDifferentialausdruck zweiterOrdnungKso beschaffen, 
dass sein 6F sich selbst adjungiert ist, so lässt sich F stets auf 
die Form bringen: 
(A) 
„?./(». I:: ^ Ca + - +4 (11 ::::)■■ 
wo jetztwieder wie in § 1 = | . .y,, | ist und die A unab- 
hängig sind von den zweiten Ableitungen y kl . 
§ 6. 
Die Abhängigkeit der Grössen A von x t , x t ,...,x K ) 
r, y,, y,, • • .,y„- 
Die Koefficienten der Subdeterminanten in F wurden in den früheren Para 
graphen, da es sich dort nur um die Abhängigkeit von den zweiten Ableitungen 
handelte, der Kürze halber als Konstanten bezeichnet. In Wirklichkeit sind 
diese Grössen noch Funktionen von x 1 , x t ,..., x n ; y; y lt y t ,..., y n . 
Die Forderung, dass dF sich selbst adjungiert sein soll, liefert für diese 
Grössen A eine Reihe von Relationen, deren Herleitung uns in diesem Para 
graphen beschäftigen soll. 
Das Differentialgleichungssystem (S) floss aus den in § 1 aufgestellten 
Gleichungen: 
(1) 
fl 
s 
«=1 
d\dF 
dx { dy it 
a+<y 
(fc = 1, 2,...,«) 
setzt man in diese Gleichungen für F den Wert (A) ein, so erhält man wegen 
§ 2 (4) lineare Funktionen W der Determinante J und ihrer Subdetermi 
nanten, die gleich Null zu setzen sind. Diese Relationen sind wie früher in all 
gemeinster Weise zu befriedigen, indem man den Koeffizienten jeder Determi 
nante gleich Null setzt. Da diese Koeffizienten, wie sich heraussteilen wird, 
Funktionen der A und deren Ableitungen sind, so erhält man auf diese Weise 
die angekündigten Relationen für die Funktionen A.
	        
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