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das Doppelte des entsprechenden Stückes E F in dein Kreise L F D ist, so hat man
auch die Proportion: FN;FP = EO;3EF. Die Evolute von F bis J ist daher halb
so lang, als die Evolvente von F bis M, wie sich dies auch von vorn herein erwarten liess.
Der epic} 7 cloidische Kaum GK B (Fig. 4) lässt sich ebenfalls ohne Integration
leicht bestimmen. Denn da Winkel GLK —PLB = OKL gesetzt werden darf, wenn
OP unendlich klein angenommen wird, so hat man das Verhältnis A G K L : A K 0 L
= KG;KO = l:2; also A K G L = y 2 A K 0 L = y 4 des Trapezes K 0 PL. Daher
ist auch die Summe der kleinen Dreiecke von G bis B, d. h. der Raum GKB = 74
des halben Kreisabschnittes K D B und der Raum EAB = */* des Quadranten A F B
= Y2 des Halbkreises über F B. Diese Eigenschaft, den Quadranten im Verhältnisse
von 1 : 3 zu theilen, hat unsere Catacaustik mit der Curve gemein, welche Tschirnhaus
im Jahre 1682 damit verwechselt hatte. Denn, da der Raum AABQ gleich dem
halben Quadranten FAB ist, so wird der geometrische Ort der Halbirungspunkte der
zwischen den Kreisbögen liegenden Stücke R K offenbar den genannten Raum F A B Q
halbiren. Und diese Uebereinstimmung mag zu jenem Irrthume mit beigetragen haben.
Fassen wir nun die Leistungen von Tschirnhaus auf dem von ihm entdeckten
Gebiete hier nochmals zusammen, so sehn wir, dass er sich zwar, wie das bei einer
neuen Art der Untersuchung sehr natürlich war, auf die einfachsten Fälle beschränkt,
dass er diese aber, wie namentlich die Catacaustik des Kreises für parallele Strahlen
so gründlich erörtert hat, dass hierüber wenig neues mehr beigebracht werden konnte;
sowie, dass seine Methode, die Catacaustik durch die Länge des reflectirten Strahles
zu bestimmen, auch von seinen Nachfolgern beibehalten wurde. Dagegen waren seine
analytischen Ableitungen wegen seiner Unbekanntschaft mit der erst eben entdeckten
Differentialrechnung noch etwas schwerfällig und sein Ausdruck für jene Länge des
reflectirten Strahles nicht immer leicht zu construiren.

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