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Darauf beweiset Tschirnhaus, dass die Evolvente der obigen Catacaustik des
Kreises die Catacaustik eines Kreises von doppeltem Radius und für Strahlen sei,
Welche senkrecht zu den erstem einfallen. Doch kann der Beweis durch die Bemerkung,
abgekürzt werden, dass jene Evolvente nichts anderes, als der geometrische Ort der
Bilder der Punkte ist, in welchen die einfallenden Strahlen den zu ihnen senkrechten
Durchmesser des Kreises schneidere In dieser abgekürzten Form möge der Beweis
hier folgen ; ™ ;
> c —Der Kreis (Fig. 5) MGH sei concentrisch um L F D beschrieben und sein Halb
messer CG gleich dem doppelten Halhihesser CF des ersten Kreises. EO sei ein
einfallender Strahl, der nach N reflectirt werde. Das Bild P des Punktes E, liegt dann
in der Verlängerung von NO, so dass 0 P = 0 E ist Zieht man nun den Radius
C 0 Q und verbindet Q mit P, so ist 0 Q'= C 0; 0 P = O E und W. QO P = C 0 ,N
= COE; folglich Dreieck OPQ^ OEC und W. P = E — 90°, d. h. Q P berührt
die Evolvente M P F in P. Macht man nun W.C .QS— C Q P und verlängert E 0
bis zum Durchschnitt W mit Q S, so ist Dreieck OQW^OQP^ 0 C: E und W
W — E = 90°; folglich auch IcS = 90° und P Q = QW= x / 2 Q S. Daher kann die
Evolvente FPM als Catacaustik für den Kreis MGH angesehn werden.
Dass diese Curve eine Epicycloid* sei, scheint mir naturgemässer direct, wie
folgt, bewiesen zu werden, statt, wie Tschirnhaus thut, umgekehrt nachzuweisen, dass
die betreffende Epicycloide eine Catacaustik sei.
Ist wieder EO ein .einfallender Strahl, 0 N seine Richtung nach der Reflexion,
dann liegt das Bild P des. Punktes E in der Verlängerung von ON, so dass NP =
OE ist. Nun beschreibe man über OQ als Durchmesser einen Kreis, der durch P
gehn muss, weil W. 0 P Q — 90° ist. Dann entspricht in diesem Kreise der Bogen
OP dem Peripheriewinkel 0 Q P — dem Centriwinkel 0 C E des Kreises ADEL, ist
also dem Bogen O F dieses Kreises gleich. Daraus folgt, dass die Curve FPM auch
durch einen Punkt A eines auf dem äussern Umfange des Kreises FLAD rollenden
Kreises, dessen Halbmesser halb so gross als der des erstem ist, beschrieben werden
kann, d. h. dass die Curve F P M eine Epicycloide ist.
Einige Angaben über Rectification und Quadratur, die Tschirnhaus dann folgen
lässt, ergeben sich einfach aus den schon dagewesenen Sätzen; so, dass das Stück F N
der Curve gleich NP = NO+OE=3NÖ und analog M P = 3 Q P ist, wonach diese
Curven also leicht rectificirt werden können. Die Länge von FJ ist daher = 3JL
b=8/ 2 CL und folglich J N = 3 /2 C L — 3 / 2 C B = s / 2 ß L. Es gilt demnach die Pro
portion F N : N J = C B : B L, welche eine leichte Theilung der Curve nach einem
gegebenen Verhältnisse anzeigt. Auch steht das Stück FN der Evolute zu dem
entsprechenden Stück FP der Evolvente in einem leicht zu bestimmenden Verhält
nisse; denn offenbar findet man entsprechend wie J N == s /2 ß L das 2 /3 fache von F P,
Wenn man das Perpendikel QT auf CG fällt; dann ist FP = 3 / 2 T G. Da aber TG

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