Einleitung. 
Es sei f(x) eine reelle Funktion des reellen Arguments x. Ist dann f(x) in einem Inter 
vall a bis b stetig, so ist die Funktion daselbst auch integrierbar. Damit sie aber in dem 
Intervall integrierbar sei, ist gar nicht nötig, daß sie in demselben auch stetig ist. Die not 
wendige und hinreichende Bedingung für die „eigentliche Integrierbarkeit“ kann man vielmehr 
folgendermaßen aussprechen: 
Man teile das Intervall a, b in n gleiche Teile. Die Endpunkte des x ien Intervalls seien: 
#x_i> x» (a = xo, b = x n ), die positiv genommene größte Schwankung "von f(x) in diesem 
Intervall sei D y . 
Dann muß 
s =^D y {x K — x K _) oder, was auf dasselbe hinauskommt S A = - ^D mit wachsen- 
"... n n *— * 
X=1 
dem 11 sich der Null nähern. 1 ) 
Dies ist z. B. der Fall bei stetigen Funktionen. Ist nämlich f(x) eine stetige Funktion, 
so kann man zeigen, daß sie auch „gleichmäßig stetig“ ist. D. h.: Man kann für ein vor 
geschriebenes beliebig kleines e die Strecke a, b so in n gleiche Teile teilen, daß in jedem 
Intervall das D y kleiner wird als -r-^-— sodaß man hat: 
b—a, 
n 
\ (J>—a) d. h. <c 
X=1 
Harnack und Thomae 2 ) geben allgemeinere Fälle an, in denen Funktionen nicht 
stetig, wohl aber integrierbar sind. 
b Vgl. B. Riem'ann: „Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trig.'Reihe". Ges. math Werke 
Leipzig 1892, S. 240. 
P. Du Bois-Rey[mVn d: „Versuch einer Klassifikation der willkürlichen Funktionen“. Crelle, Bd. 79,1875. 
2 ) Harnack: „Die Elemente der Diff.- und Integralrechnung“. Leipzig 1881, Bd. 1, § 142. 
Thomae: „Theorie der best. Integrale“. Halle 1875.