Schlußbetrachtungen. 
In der Funktionentheorie leitet man die Gleichung 
s b 
mit Hilfe des Cauchyschen Satzes unter Voraussetzung der Differentiierbarkeit von f(s) her, um 
sie zur Entwickelung von f (C) in eine Potenzreihe zu verwenden. Bei dieser Herleitung sind 
immerhin recht komplizierte Grenzübergänge erforderlich. Wir ersetzen das Bestehen der Gleichung: 
durch die Erfüllbarkeit der Ungleichung: 
durch ein endliches n bei vorgeschriebenem beliebig kleinen s. Von der Erkenntnis ausgehend, 
daß sehr viele einfache Funktionen — z. B. alle ganzen Funktionen endlichen Grades (vgl. II, 
§ 2) — der Bedingung (Ä) genügen, kann man verallgemeinernd diese Bedingung aufstellen zur 
Definition einer analytischen Funktion, wie man in der Funktionentheorie die Differentiierbarkeit, 
die man an einfachen Funktionen leicht nachweisen kann, verallgemeinernd als Bedingung für 
eine analytische Funktion aufstellt. Verwendet man aber — wie wir in vorliegender Arbeit getan 
haben — die Bedingung (A) zur Definition einer analytischen Funktion, so vermeidet man ganz 
die eben erwähnten Grenzübergänge und gestaltet das Operieren mit auftretenden Grenzwerten 
einfacher als es bei den Integralmethoden der Funktionentheorie geschieht. Wie schon in der 
Einleitung erwähnt und in III, 3 begründet, verschärft man die Integrabilitätsbedingung von f(z) 
auch nur einmal, während das in der Cauchy-Riemannschen Funktionentheorie zweimal geschieht 
(vgl. die Einleitung). 
Ein gewisses Interesse mag vielleicht noch der nachfolgende Beweis des Satzes bieten, 
daß die Bedingung (A) ein vollständiger Ersatz für die Cauchy-Riemannschen Differential 
gleichungen ist, wenn man eine Funktion f{z) als analytische Funktion charakterisieren will, 
aber bei weitem nicht so viel voraussetzt als diese. 
Es seien n x (x, y) und u 2 {x Y , y) zwei in x und y stetige Funktionen von x und y. 
Den Wert der Funktion u x (x, y) -\- i u 2 ifo, y) für die beiden Komponenten x und y von 
z = x + i y nenne ich f(z): 
f (z) = «i 0», y) + i «2 («, y)