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Wir haben so den Satz: 
Zu jedem noch so kleinen aber von Null verschiedenen e läßt sich ein m so be 
stimmen, daß 
I 4,+ 4 (£-«) + A (M 2 + • • • + A m (£—«) m — 2 re if (0 | < e 
oder 
«o + «i (f—«) + «2 (£■~a) 2 H 1- a m (?—'«) m — Z - (£) 
für alle £ des Kreises ft", wenn 
<2^7 
^ TT) 
A v 
a ,, = =—•., mithin 
2 7T 'b 
a tl 
< 
K 
und daß 
oder 
A, + i(£-«) m+1 
a m+1 (£-af fl 
^ m+2 (c-«r +2 
a 
m+2 (f &) 
m -f 2 
+ ••* + 
+ ••* + 
1714 
; (£—«)' 
ITl-j-S 
< 
3 —j— 12 N 
m + s 
(£-a) m+s < 
(3 + 12 N) 2 re 
für alle positiv-ganzen s und alle Punkte £ des Kreises ft'. 
Funktionerltheoretisch drückt man dieses Verhalten von f(z) aus durch den Satz: 
Für alle Punkte £ des Kreises ft" läßt sich die Funktion f (z) darstellen durch eine 
Potenzreihe: 
f (£) = a 0 -\- a L (£—d) -j- a.> (£—«) 2 -| \- a m {t,—a) m -j in inf., 
ivelclie sogar im Kreise ft' noch gleichmäßig konvergiert. 
Das folgte aus der bloßen Voraussetzung, daß die eindeutige Funktion f[z) im Kreise ft' 
der Bedingung (A) genügte, d. h. daß (p (z) = ^ (Z) ~ ^■ (z—a) über der Peripherie des Kreises ft 
& b 
den Mittelwert Null hat oder tf) (z) = ^ — auf ft das Integral Null besitzt. Setzen wir nur 
S ’ f(s) 
die Integrierbarkeit*) der eindeutigen Funktion f{z) über den Kreis ft voraus, so ist bei 
Beschränkung von £ auf das Innere und die Peripherie von ft' ebenfalls integrierbar als Produkt**) 
der integrierbaren Funktion f{z) mit der — für unsere Werte von £ — ebenfalls integrierbaren, 
weil stetigen Funktion -2—, Für die beschränkten Werte von £ ist auch über ft nach z 
& r* 
integrierbar. Da aber die Differenz zweier integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist,***) 
*) Übrigens ist mit der Bedingung (A) auch diejenige der Integrierbarkeit von f{z) erfüllt. Denn aus (.A) 
folgt jedenfalls, daß i/> (*) = f ^ Fr ZiS über den Kreis ft integrierbar ist. Dasselbe gilt dann auch von dem Produkt: 
^ b 
1p (z) (2—?), da (s—J) über ft integrierbar, ja sogar stetig ist, d. h. die Funktion { f («) — f t, } ist über ft integrierbar. 
Da — /(£) nur eine additive Konstante ist, So gilt dasselbe auch von /(«). 
**) Vgl. I, § 10. 
***) Der Beweis dieses Satzes ist so einfach, daß wir auf denselben verzichten.