III. 
Die Bedingung (A) als hinreichend dafür, daß f(z) eine analytische Funktion ist. 
§ 1. 
Gleichmäßige Endlichkeit von f(z) auf dem Kreise K als Folgerung aus (^4). 
Jede eindeutige Funktion f (s), welche nur der Bedingung (A) zu genügen braucht, 
ist auf der Peripherie des Kreises (ft) „gleichmäßig endlich“. 
Wie schon die Überschrift sagt, setzen wir von jetzt an von der eindeutigen, komplexen 
Funktion komplexen Arguments f{s) nur voraus, daß sie der Bedingung (.4) (II § 1) genügt für 
alle Punkte f des Kreises W um a mit dem Radius r' = r{\— ^ (N jede beliebig große, 
ganze Zahl). 
Um die „gleichmäßige Endlichkeit“ von f(z) auf der Kreisperipherie Ä nachzuweisen, 
greifen wir irgend einen Punkt £, innerhalb oder auf heraus, für den 
|/©|<4 
und bestimmen n so groß, daß 
<P (O 
X=1 
1 i),, 
i_ V / 
i 13 < ^ V 
Jt=i 8 * £*■ • 
(z' K —a) 
< — 
- 2 
Dann ist: 
cn 4-^7! — 9>k 
, n •*— 1 
x=l 
< £ 
Hieraus leitet man ab (vgl. I, § 7, Bemerkung), daß <p (z) = - ---- (z—a) für alle 
Punkte s der Kreisperipherie „gleichmäßig endlich“ ist, sodaß eine endliche Zahl F existiert, 
für welche: ' fcl 
oder: 
f(*)-f(&) 
*—?i 
n*)-f(k) 
(z—a) 
<K 
(Vgl. I, § 7, Bemerkung) 
< 
z—a 
F, 
f(z)-f(^)\<2F, 
fi 
also: