II.
Die Bedingung (A) als notwendig dafür, daß f (z) eine analytische Funktion ist.
§ 1.
Aufstellung der Bedingung (A).
Die im ersten Teil erlangten Erkenntnisse können uns behilflich sein, unter Anwendung
von Sätzen aus der Funktionentheorie, eine notwendige und hinreichende Bedingung abzuleiten
dafür, daß eine eindeutige komplexe Funktion komplexen Arguments f(s) eine analytische
Funktion ist.
Der Kreis k liege ganz im Gebiet der zunächst als analytisch vorausgesetzten Funktion f(z).
Man kennt dann aus der Funktionentheorie für irgend einen Punkt £ im Innern des Kreises die
Gleichung:
2 n if(£) = f ~~fds.
R
Da
('dz .
/ r az — 2 n i,
d z—t
mithin
J' f M dg = 2nif(0
R 0 -
ist, so kann man auch schreiben:
/m-Agu-o
./ z—£
©
Sieht man £ als konstant an, so heißt das:
f(~\ f(£\
Die Funktion </' (z) = y L — ist über die Kreisperipherie k integrierbar und besitzt
3—£
das Integral J= 0.
Daraus folgt:
Die Funktion
(f (z)
m-m
(z—a) besitzt
über k einen Mittelwert M =
J
2 n i
== 0.
(S. I, § 6.)