II. 
Die Bedingung (A) als notwendig dafür, daß f (z) eine analytische Funktion ist. 
§ 1. 
Aufstellung der Bedingung (A). 
Die im ersten Teil erlangten Erkenntnisse können uns behilflich sein, unter Anwendung 
von Sätzen aus der Funktionentheorie, eine notwendige und hinreichende Bedingung abzuleiten 
dafür, daß eine eindeutige komplexe Funktion komplexen Arguments f(s) eine analytische 
Funktion ist. 
Der Kreis k liege ganz im Gebiet der zunächst als analytisch vorausgesetzten Funktion f(z). 
Man kennt dann aus der Funktionentheorie für irgend einen Punkt £ im Innern des Kreises die 
Gleichung: 
2 n if(£) = f ~~fds. 
R 
Da 
('dz . 
/ r az — 2 n i, 
d z—t 
mithin 
J' f M dg = 2nif(0 
R 0 - 
ist, so kann man auch schreiben: 
/m-Agu-o 
./ z—£ 
© 
Sieht man £ als konstant an, so heißt das: 
f(~\ f(£\ 
Die Funktion </' (z) = y L — ist über die Kreisperipherie k integrierbar und besitzt 
3—£ 
das Integral J= 0. 
Daraus folgt: 
Die Funktion 
(f (z) 
m-m 
(z—a) besitzt 
über k einen Mittelwert M = 
J 
2 n i 
== 0. 
(S. I, § 6.)