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Dann hat inan ein n gefunden, für welches
n+P
2 >!> «) (« x —« x _i) — 2 niM
*•=i
<«
und zwar ist das möglich, wie klein auch e sein möge. D. h. die Funktion tp(g) besitzt
ein über die Kreisperipherie Ä genommenes eigentliches Integral
J =2 niM.
Mit diesem Beweise ist die am Schluß von § 3 gestellte Aufgabe gelöst.
(§§ 7—8: Äquivalenz der Bedingung (T) und (yj).
§ 7.
Die Bedingung (F) und ihre Konsequenzen.
Schon eine Bedingung (F) — einfacher als (y) — ist hinreichend dafür, daß cp (s)
einen Mittelwert, tp (z) ein Integral besitst.
Wir setzen von voraus, daß man zu jedem noch so kleinen aber von Null ver
schiedenen e ein n so finden kann, daß
(i 1 )
F
n
n
2
*=1
< e, <p («) = 0—a) tp (s)
und behaupten, daß aus (T) folgt:
1
»+J>
n+P
2 [v Wa)
\
)
<f 3 E
sodaß man nur das n so zu wählen braucht, daß
(P = 0,1,2- • •),
um zu haben:
(y)
- n
n 2\ f«) - t «)}
X=1
< -
^ 3’
n+p
< f
Ist die eben aufgestellte Behauptung bewiesen, so haben wir den Satz gewonnen:
Genügt eine Funktion der Bedingung (F), so genügt sie auch gleichzeitig der Be
dingung (y). (F) ist also eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Mittelwerts