10 
Hätten wir n so groß gewählt, daß die linken Seiten der Ungleichungen (a) und (a•') 
kleiner geworden wären als so hätte man erhalten: 
(c) 
W (K) — v> «)} (s x —) 
Y, = 1 
<e 
für ganz beliebige Punktepaare z' x , s' x in jedem Intervall, für dieses und jedes folgende n. 
Ist also die Funktion ip(s) über den Kreis ft „eigentlich integrierbar“, so kann man 
zu jedem noch so kleinen aber von Niül verschiedenen e ein endliches n so finden, daß Un 
gleichung (c) befriedigt ist für dieses und jedes folgende n. Dies ist also eine notwendige 
Bedingung für die eigentliche Integrierbarkeit der Funktion ip(s) über den Kreis ft. Wir 
wollen sie die Bedingung (c) nennen. 
Wir wollen beweisen, daß dieselbe auch hinreichend ist. Zu dem Zwecke gaben wir 
ihr aber eine andere Form, y, welche eine bequemere Beweisführung gestattet. (Siehe I, 3). 
„Gleichmäßige Endlichkeit“ der Funktion if>(z) auf dem Kreis ft als Folge 
rung aus (c). 
Aus der Erfüllbarkeit der Bedingung (c) folgt zunächst, daß die Funktion tp(z) auf 
der Peripherie des Kreises ft „gleichmäßig endlich“ ist. 
Zum Beweise greifen wir einen beliebigen Punkt z' k des k ten Intervalles heraus. In ihm 
sei \ip{z'f)\<fM. In allen anderen Intervallen wähle man z x =z” außer im Intervalle k. Dann 
hat unsere Summe nur das eine Glied : 
Es ist mithin: 
Man hat ferner: 
mithin: 
Für n^s: 2 aber ist: 
{ü>{z k ) — il,(z'j))(z k -z k __ A ). 
W (4) - v» K)} | < £ 
r> • TT 
— 2 r ■ sin —, 
n 
2 r sin 
o 
^ ^ .v.\ 
- <2 sin-,*) 
n n 
*) Ist r(x) = 2 sin x—x, also /(x) = 2 cos x—1, so ist r(0) = 0 und r\x) =5 0 für x 2= Also für x üS 
X 7t 71 
/•(#)> 0 oder 2 sin x—x >0 oder sin x > t,-. Also für 3: sin —>2^-;. ^ ber das auch ^ ür n== 2> denn 
7t 7t 7t 7t 7t 7t 
sin^=l>-j. Also allgemein für n =2; 2, sin — >^ und — <2sin—.