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Da nun zur Integrierbarkeit nicht einmal die Stetigkeit erforderlich ist, so ist die obige 
— „Riemannsche“ — Bedingung für die Integrierbarkeit, wenn auch nicht formal einfacher, 
so doch umfassender, allgemeiner als die Bedingung der Stetigkeit. Du Bois-Reymond x ) 
nennt sie sogar die einfachste Bedingung, die man einer Funktion auferlegen kann und klassi 
fiziert danach die Funktionen in „voraussetzungslose“ Funktionen, integrierbare Funktionen, 
stetige und differentiierbare Funktionen. Jede Klasse ist allgemeiner als die folgende, jede 
gehört der vorigen an. 
In der Theorie der komplexen analytischen Funktionen erlegt man einer solchen die 
Bedingung der Stetigkeit und Differentiierbarkeit auf. Die Bedingung der Stetigkeit ist bereits 
ein Spezialfall einer Integrierbarkeitsbedingung, welche der Riemannschen ganz ähnlich ist, 
und die wir daher auch mit Du Bois Reymond die einfachste Bedingung für eine Funktion 
nennen können. (Vgl. I, 1 (c), 3 (y), 7 (I 1 ). Die Stetigkeit ist nur eine Verschärfung der 
letzteren. Bis jetzt fügt man in der Theorie der analytischen Funktionen noch immer die 
weitere verschärfende Voraussetzung der Differentiierbarkeit hinzu, um auf die Entwickelung der 
Funktion in eine Potenzreihe zu kommen. Man verschärft also die einfache Integrierbarkeits 
bedingung zweimal. Es soll die Aufgabe der folgenden Blätter sein, zu zeigen, daß man von 
den allgemeinsten integrierbaren Funktionen durch eine einzige Verschärfung der Bedingung die 
ganze Klasse der analytischen Funktionen abspalten kann. 
Diese Verschärfung der Integrabilitätsbedingung wird uns eine einzige notwendige und 
hinreichende Bedingung liefern dafür, daß f{s) eine analytische Funktion ist. Wir werden diese 
Bedingung mit (Ä) — (II, 1) — bezeichnen und zeigen, daß eine eindeutige Funktion, welche 
nur sie zu erfüllen braucht, in einem gewissen Gebiete „gleichmäßig endlich“, stetig und 
differentiierbar, mithin eine „analytische Funktion“ ist. 
Analog der obigen Integrierbarkeitsbedingung für reelle Funktionen reellen Arguments 
werden wir unsere Bedingung (Ä) mit Hülfe einer Ungleichung ausdrücken, auf deren linker 
Seite eine Summe steht. Das aber kann nach Du Bois Reymond die Behauptung nicht 
zunichte machen, daß unsere Bedingung (Ä) zur Definition einer analytischen Funktion weniger 
voraussetzt und einfacher ist, als alle bisher für dieselben aufgestellten Bedingungen. 
*) a. a. O.