I. Die hypergeometrische Differentialgleichung 
zweiter Ordnung. 
A. Die partikulären Lösungen und ihre Anfangswerte. 
Die Gaußsche Differentialgleichung 
*(*— 1 )‘yS+ (« + /*+!) * — q)]jfc + a-ßy = 0 
besitzt bekanntlich, wenn man mit cp (u, x) die Funktion 
(u — x) ~~ ß U ß ~~ ? (« — x) ? ~ “ ~~ 1 bezeichnet, die partikulären 
Hauptlösungen 
(5 
, X) du 
Pi(x) = j'fp (u, x) du und y 2 (x) = j’tpiu,: 
1 0 
in der Umgebung von x = 0, 
0 x 
16 > r ll (x)= J <p (u, x) du und t] 2 (x) = j cp (u. x) du 
in der Umgebung von x = 1 und 
(7) 
1 X 
(x) = j <P (u. X) du und (x) = j <p (u, 
x) du 
in der Umgebung von x = oc. Hierbei ist vorausgesetzt, daß 
die Konstanten denjenigen Bedingungen genügen, die für die 
Konvergenz der Integrale erforderlich sind. 
Diese Integrale lassen sich in Gaußsche hypergeometrische 
Reihen entwickeln und zwar ist 
< 5 1 ) 
y x (X ) = konst. F(a,ß; q; x) 
y., (x) konst. x 1 <' F (er — p-f-1, ß— p -|-1; 2 — q; x) 
(6 1 ) Vi ( x ) — konst. • f («, « + ß - C + 1 ; 1 — X) 
v n (xj — konst. • (1 — x) <' — « — /? PfQ — ß, q — «; 
g — a — ß-\-l; 1 — x)