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II. Die hypergeometrische Differentialgleichung dritter
Ordnung mit zwei endlichen singulären Punkten.
Die für die Gaußsehe Differentialgleichung angestellten
Betrachtungen sollen auf die hvpergeometrische Differential
gleichung dritter Ordnung mit zwei endlichen singulären Punkten
ausgedehnt werden.
A. Die partikulären Lösungen und ihre Anfangswerte.
Die hypergeometrische Differentialgleichung dritter Ordnung
mit zwei endlichen singulären Punkten hat die Form
x *( x l.t^j -f" x |(« + ^-f'7~l“ 3) x — (? + 1) -ßi
-f fr + 7« + «ß -f « + fl + 7 + 1) X — ooj d J x + a,iy y = 0.
Ihre endlichen singuiären Punkte sind die Punkte x - 0
und X— 1; außerdem ist x=oo ein singulärer Wert.
Setzt man der Abkürzung halber
<P(u,v,x)—(v—x)~''v- °{u—y) fl —"(« — 1)?— 1 ,
so weiß man 1 ), daß sich die vorliegende Differentialgleichung
in der Umgebung des Nullpunktes, durch die partikulären
Lösungen
0 1
in der Umgebung des Punktes 1 durch die partikulären
Lösungen
') Pochhammer, .lourn. f. Math. Bd. 102. S. H7.