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und 
n ~ l du 
— J (u — Xj) — ß u ß ~ <' (u — 1) «'J - “ — 1 du. 
1 
wo die Integranden reell und positiv sein sollen und die bei 
den Teilintegrale nach dem obigen Prinzip Zusammenhängen. 
Als Anfangswert des Integranden von i u (x) wählt man 
denjenigen Zweig, der aus dem auf dem Wege x,0 fixierten 
Anfangszweig entsteht, indem hier die Variable u den Null 
punkt in positiver Richtung längs eines Halbkreises umgeht. 
Die Potenzen (x, — u) ~~ß und (1 — u) 1 ‘ ~ “ 1 sind in der Um 
gebung des Nullpunktes eindeutig, dagegen ist u 0 für die 
Potenz u ß ~ " ein Verzweigungsprodukt. Bezeichnet man den 
absoluten Betrag von u mit t. so ist nach der Umgehung des 
Nullpunktes uß~~" durch c*(ß~?) tß~ zu ersetzen, und 
als Integrand ist also auf dem Wege 0 (— oo) der Zweig 
e Tii (1 — «) p — t ß — v q ? — « — 1 
V, (x } ) 
p (<' 
(« — xj ‘ ü • "(1- u) ! 
zu nehmen. Folglich ist der Anfangswert von r a (x), dessen 
Integrationsweg sich von 0 bis — oo erstreckt, 
0 
— X 
Hierin sind die Potenzen (x,—u) ß, (— u) ß " und 
(I — u)( 
ii—u—i 
reell und positiv. 
(s>{ 
Die Anfangswerte der partikulären Hauptlösungen sind also: 
X 
y l (xj = j(u —x x ) ß u (u—1) c — «—i du, 
1 
x i 
y.,(x l ) e T/ ‘~ h j(Xj—u) ß u ß ^(1—u)^ n 1 du.