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Hierin können wir die beiden Summationsbuchstaben 1, m durch
einen einzigen, etwa 1 ersetzen und erhalten:
dxri = ^' (ai 1,1 ’ k ( - ai ,Ji h ^ X|;
(10c) '1» (x^x) =
_j ! (Uj l)i )ij —[- Hb 1); H | [ (ajt b m )i —(— (a m b^ ); j. X| x m
i k I m
= 0. (i, k, 1, m = 1, 2, 3).
(10c) ist das Analogon zu der streiten Form von ']> (x, x) in der
Punktreihe. Vgl. p. G (7) bezw. p. 8 oben.
Bei unseren Untersuchungen über die speziellen Büschel
wird uns die Formel (1 Ob) bezw. (10c) wertvolle Dienste leisten,
da sie den KS ^ bei beliebigem Koordinatensystem definiert.
Die Tatsache, dass durch das allgemeine KS-Biischel eine
ihm harmonisch eingeschriebene nicht entartete Kurve eindeutig
bestimmt ist, die das Polardreieck des Büschels gleichfalls als
Polardreieck besitzt, fordert uns zu der umgekehrten Frage auf:
ist durch den nicht entarteten KS-h und ein Polardrcieck des
selben ein KS-Biischel eindeutig bestimmt, das ^ harmonisch um
geschrieben ist und dessen Polardreieck eben das gegebene Polar
dreieck von ’\i ist?
Denken wir uns zunächst die Gleichung von auf das ge
gebene Polardreiek von das auch Polardreieck des dem KS'j>
harmonisch umgeschriebenen Büschels sein soll, als Koordinaten-
dreieck bezogen, so ist die Gleichung von •]> in Linienkoordinaten
von der Form: ¥n tu 2 -f- Th2 u* 2 -f- Was u» 2 = 0. Jede be
liebige Punktkurve, für die das Koordinatendreieck ein Poldreieck
ist, muss nun offenbar die Gleichungsform haben:
(lo) X Xj 2 -j- p x 2 2 -f- v x 3 2 =; 0,
worin X, p, v alle möglichen reellen und imaginären Werte an
nehmen können. Eine solche Gesamtheit von KSen (als Punkt
kurven) nennt man ein KS-Netz (dualistisch: KS-Gewebe). Für alle
Kurven des Netzes (13), denen h harmonisch eingeschrieben sein
soll, muss die Gleichung erfüllt sein:
(14) X T u -|~ p U 22 + v T’ 33 = 0.
Von den Koeffizienten in (13) ist daher einer linear und homogen
durch die beiden andern ausdrückbar. Durch (13) und (14) zn-
sammengenommen ist also ein KS-Biischel bestimmt.