Full text: Zur Klassifikation der Punktepaar- und Kegelschnitt-Büschel

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Hierin können wir die beiden Summationsbuchstaben 1, m durch 
einen einzigen, etwa 1 ersetzen und erhalten: 
dxri = ^' (ai 1,1 ’ k ( - ai ,Ji h ^ X|; 
(10c) '1» (x^x) = 
_j ! (Uj l)i )ij —[- Hb 1); H | [ (ajt b m )i —(— (a m b^ ); j. X| x m 
i k I m 
= 0. (i, k, 1, m = 1, 2, 3). 
(10c) ist das Analogon zu der streiten Form von ']> (x, x) in der 
Punktreihe. Vgl. p. G (7) bezw. p. 8 oben. 
Bei unseren Untersuchungen über die speziellen Büschel 
wird uns die Formel (1 Ob) bezw. (10c) wertvolle Dienste leisten, 
da sie den KS ^ bei beliebigem Koordinatensystem definiert. 
Die Tatsache, dass durch das allgemeine KS-Biischel eine 
ihm harmonisch eingeschriebene nicht entartete Kurve eindeutig 
bestimmt ist, die das Polardreieck des Büschels gleichfalls als 
Polardreieck besitzt, fordert uns zu der umgekehrten Frage auf: 
ist durch den nicht entarteten KS-h und ein Polardrcieck des 
selben ein KS-Biischel eindeutig bestimmt, das ^ harmonisch um 
geschrieben ist und dessen Polardreieck eben das gegebene Polar 
dreieck von ’\i ist? 
Denken wir uns zunächst die Gleichung von auf das ge 
gebene Polardreiek von das auch Polardreieck des dem KS'j> 
harmonisch umgeschriebenen Büschels sein soll, als Koordinaten- 
dreieck bezogen, so ist die Gleichung von •]> in Linienkoordinaten 
von der Form: ¥n tu 2 -f- Th2 u* 2 -f- Was u» 2 = 0. Jede be 
liebige Punktkurve, für die das Koordinatendreieck ein Poldreieck 
ist, muss nun offenbar die Gleichungsform haben: 
(lo) X Xj 2 -j- p x 2 2 -f- v x 3 2 =; 0, 
worin X, p, v alle möglichen reellen und imaginären Werte an 
nehmen können. Eine solche Gesamtheit von KSen (als Punkt 
kurven) nennt man ein KS-Netz (dualistisch: KS-Gewebe). Für alle 
Kurven des Netzes (13), denen h harmonisch eingeschrieben sein 
soll, muss die Gleichung erfüllt sein: 
(14) X T u -|~ p U 22 + v T’ 33 = 0. 
Von den Koeffizienten in (13) ist daher einer linear und homogen 
durch die beiden andern ausdrückbar. Durch (13) und (14) zn- 
sammengenommen ist also ein KS-Biischel bestimmt.
	        
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