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111. Kapitel. 
Die binäre kubische Form und das Punktetripel. 1 ) 
Mit Rücksicht auf die später — im IV. Kapitel — zu be 
handelnde charakteristische Gleichung des KS-Büschels, deren 
linke Seite in X vom 3. Grade ist, also eine binäre kubische Form 
liefert, wenn für X homogene Variablen gesetzt werden, müssen 
wir hier kurz die für uns wesentlichen Sätze über solche Formen 
znsammenstellen. 
Einer binären kubischen Form mit reellen Koeffizienten, 
die = 0 gesetzt wird, 
(1) f (x, x, x) = a m x, 3 + 3a 1I2 Xj 2 x., 
+ 3a 122 x, x., 2 -f a 222 x 2 s = Ü. 
entspricht geometrisch ein Pifhktetripel. 
Führen wir in diese Form die ersten und zweiten partiellen 
Ableitungen von f nach x t und x 2 ein, so erhalten wir zwei 
Ausdrücke: 
(2) 
f = f, Xj -f f 2 X 2 , wo f, = -ö- 
1 df 
i d Xi 
(3) f = f n x, 2 -f 2 f 12 x, x 2 + f 22 x 2 2 , wo f ik = y () f 
6 d Xi dx k 
Wir haben also hier statt der einen Polaren einer quadra 
tischen Form eine erste Polare des Punktes x’: 
(4) fj (x, x) . Xj’ 4- f 2 (x, x) . Xa’ = 0, 
und eine zweite Polare desselben Punktes x': 
(5) f n (x) • x,' 2 + 2 f ]2 (x) . x/ x,’ + f 22 (x) . x 2 ’ 2 ss 0. 
Die Entwickelung der Ausdrücke (4) und (5) zeigt, dass 
durch beide Gleichungen dieselbe Paarung bewirkt wird, nur sind 
die Punkte x und x’ miteinander vertauscht. 
Durch das Punktetripel weiden zwei weitere Pnnktgruppen 
ausgezeichnet. 
’) Zu den Betrachtungen dieses Kapitels vgl. Clebsch-Lindeinann i (1906), 
p. 401, p. 428—434 u. p. 437.