8 
Büschels; analytisch sind die charakteristischen 
Elemente — als harmonische Elemente — gegeben 
durch (f g) = 0 oder durch 21 (a; bk) x; Xk = 0. Die 
Klassifikation der charakteristischen Elemente 
leistet die Klassifikation des Punktepaarbüschels. 
IT. Kapitel. 
Die affine Klassifikation der Punktepaarbüschel 
durch die charakteristischen Elemente. 
Die affine Klassifikation der Punktepaarbüschel erhalten 
wir, wenn wir die charakteristischen Elemente, deren projektive 
Klassifikation die projektive Klassifikation des Punktepaarbüschfis 
bewirkt, nunmehr affin klassifizieren. 
Die charakteristischen Elemente des elliptischen Büschels 
sind imaginär. Sie können daher za dem uneigentlichen Punkte 
der Geraden keinerlei ausgezeichnete Lage besitzen. 
(1) Das elliptische Punktepaarbüschel enthält 
keinerlei affin verschiedenen Unterarten. 
Bei dem hyperbolischen Punktepaarbüschel sind die charak 
teristischen Elemente zwei reelle Punkte; wir haben demnach 
zwei affin verschiedene Büschel, je nachdem >]> ein eigentliches 
Punktepaar oder ein eigentlich-uneigentliches Punktepaar dar 
stellt. Analytisch unterscheiden sich diese beiden Fälle nach 
H. u. K. Art, 38 dadurch, dass im ersteren Falle (aj bj) 0, 
im zweiten Falle (&! bp = 0 ist. 
Da alle Paare des Punktepaarbüschels zu den Punkten von 
harmonisch liegen, so ist im zweiten Falle der eigentliche 
Punkt von dem uneigentlichen Punkte der Geraden inbezug auf 
alle Paare des Büschels konjugiert; der eigentliche Punkt von >]; 
ist also der gemeinsame Mittelpunkt aller Paare des Büschels 
und wir können das Punktepaarbüschel daher ein ,.konzentrisches“ 
Punktepaarbüschel nennen.