(5 
0) 
(f g) = 
fl u 
gl g 2 
x l" (a^ 1)]) —|— Xi X2 (iVjj boo ä'20 bjj) 
—|— x.j~ (äo b.>)— Xi - (a.j bj) Xj X2 [(aj b 2 ) —j— ^a 2 bj)] —f— x 2 ~ (a 2 b 2 ) 
= 4» ( x i x 2 ) = 0. 
’■{' ( x i Xj) = 0 ist also die G1 e i c h u n g der Doppel 
punkte der Involution (2), also der charakteristi 
schen Elemente des Büschels. 
Aus (7) gewinnen wir das Resultat: 
(8) Die Involution (2) ist elliptisch oder hyper 
bolisch, je nachdem die Determinante von >}, Aj, 
positiv oder negativ ist. Ist A— 0. so ist die In 
volution parabolisch, wenn nicht alle Koeffizien 
ten von ']> verschwinden, identisch, wenn alle ver 
schwinden. 
Da — nach II. u. K. Art. 35 — der einer Involution ent 
nommene reelle Wurf elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch 
ist, je nachdem die Involution selbst elliptisch, hyperbolisch oder 
parabolisch ist, so können wir das Punktepaarbüschel je nach 
dem Verhalten der charakteristischen Elemente treffend ein 
elliptisches, hyperbolisches oder parabolisches nennen. 
Zum Zwecke späterer Anwendung lieben wir noch zwei 
weitere Tatsachen hervor. 
Wenn in der charakteristischen Gleichung der Koeffizient 
von X verschwindet, wenn also (aj h.) -(- (bj aA = 0 ist, so be 
dingt dies nach H. n. K. p. 80, Uebungsaufgabe 3, dass die Paare 
f = 0, g = 0 einander harmonisch trennen. 
(9) Wenn in der charakteristischen Gleichnng 
der Koeffizient von X verschwindet, so haben die 
Punktepaare f und g zu einander die projekt.iv aus- 
gezeichnete Lage, die sie im allgemeinen nur zu 
den charakteristischen Elementen des Büschels 
li a 1) c n. 
(10) Die charakteristische Gleichung und die 
Gleichung der charakteristischen Elemente haben 
dieselbe Determinante. Tatsächlich ist also schon in (6) 
die vollständige Klassifikation der Büschel mit Einschluss der 
Realität oder Nichtrealität der Doppelpunkte enthalten. 
Um den Resultaten unserer Betrachtung für die Klassifikation 
der Punktepaarbüschel eine knappe und elegante Form zu geben, 
führen wir nach dem Vorgang von H. u. K, Art. 32 und Art.