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Diese Gleichung heisst die charakteristische Gleichung des 
Punktepaarbüschels. 
(5) Die Punktepaare des Büschels f — Xg = 0 
sind nichts anderes als die Punktepaare der durch 
den Wurf f = 0, g = 0 bestimmten Involution 1 ). 
Für-die Natur einer Involution (sind ihre Doppelpunkte 
charakteristisch. Die charakteristische Gleichung des Punkte 
paarbüschels liefert uns die Parameter dieser. Doppelpunkte. Ver 
mittelst der Klassifikation der charakteristischen Gleichung er 
halten wir daher folgende projektiv verschiedenen Büschelarten: 
(6) Es sei 4A = 4A-B — (AB) 2 , so enthält das Punkte 
paarbüschel f — Xg — 0 für 
^ =t= 0 
A = 
- 0 
2 Doppelpunkte. 
A, (A B), B nicht 
A (AB) = B 0 
Die zugehörigen Parameter 
sind imaginär. sind reell, 
gleichzeitig 0 
lauter Doppel- 
wenn A>0. j wenn A<0. 
1 Doppelpunkt. 
punkte. 
Aus der Realität oder Nichtrealität der Parameter kann man 
nicht ohne weiteres auf Realität oder Nichtrealität der zugehörigen 
Doppelpunkte~schliessen.. t Wir können daher bei der charakte 
ristischen GMchung nicht stehen bleiben, sondern sind genötigt, 
die Gleichung der Doppelelemente selbst aufzustellen, um aus ihr 
die Kriterien für die Natur der Involution bezw. des Punktepaar 
büschels (2) zu gewinnen. 
Die Punktepaare einer Involution liegen harmonisch zu ihren 
Doppelpunkten. Daher sind die Doppelpunkte der Involution (2) 
diejenigen Punkte, welche sowohl das Punktepaar f (x, x) = 0 
als auch g (x, x) = 0 harmonisch trennen. Daraus ergibt sich 
aber umgekehrt, dass die Doppelpunkte der Involution (2) sowohl 
inbezug auf das Punktepaar f (x, x) = 0 als auch inbezug auf 
das Punktepaar g (x, x) = 0 involutorisch gepaart sind. Sollen 
also Xj, x 2 die Koordinaten eines Doppelpunktes der Involution 
(2) sein, so müssen die beiden Gleichungen 
x i’ fi ( x ) x 2 ’ fo ( x ) — 
x i’ gi ( x ) + x 2 ’ g 2 ( x ) = 0 
ein gemeinsames Lösungssystem x/, x 2 ’ besitzen. Dies ist aber 
dann und nur dann der Fall, wenn 
>) H. u. K. Art. 37.