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Jetzt stellen wir die analytischen Bedingungen dafür 
auf, daß die Strahlen (1), (2), (3), (4) auf dem Kegel liegen: 
(1) a x ! x x 2 + a 88 m» -f 2 « 3l 8 1 £B 1 = 0. 
(2) «1 1 a?2 2 + «33 *2 + 2 «31 «2 #2 = 0. 
(3) «22 «/3 2 + «3 3 % 2 + 2 «3 2 #3 «3 = 0. 
( 4 ) «22 t// + «38 «4 2 + 2 «32 #4 «4 = 0. 
(6) 
Aus (1) und (2) folgt: 
«11 * «3 3 — tw j fC-j 
X x x 2 
s l s 2 
:. x^ «^2 
#2 
«1 «2 
Aus (3) und (4) folgt: 
(7) 
«2 2 : «3 3 = «3 s 
*3 3 
Die Faktoren 
3 *4 • 
Xi x 2 
*1 «2 
y$ yx 
8- A 8 t 
und 
: */s 2/4 
t/ 3 t/ 4 
*3 «4 
t/3 t/4 
% *4 
sind =(= 0, da alle 
vier Strahlen, also auch ihre Koordinaten verschieden von 
einander sind; man kann daher die Faktoren streichen und 
erhält: 
(8) «, j : «22 : «83 = y-i t/4 «i «2 : «3 «4 «ü X 2 ■ «h ^2 */s t/4- 
Aus Gleichung (5) und (8) folgt: 
(9) «n + «22 + «88 = C • (2/32/4 Ä 2 + #3 8 9 4, X \ #2H~«Ü X 2#3 2/4)) 
wo c eine von Null verschiedene Konstante ist. Wäre 
c = 0, also auch a x i = « 2 2 = «3 3 = 0, so würde aus den 
Gleichungen (1) —(4) folgen: mindestens ein a» = 0, d. h. der 
Kegel wäre entartet, was nach unserer Voraussetzung aus 
geschlossen ist; es muß also c 4= 0 sein. 
Die Gleichung: « tl -f- « 22 -(-«33=0 besagt aber 
nach § 10: 
Der Kegel ist gleichseitig. 
Da nach Gleichung (9) auch die Umkehrung hiervon 
gilt, so ist der Satz damit bewiesen. 
Anmerkung: Für den gleichseitigen Kegel 2. Klasse 
existiert natürlich ein analoger Satz.