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Dividieren wir nun Gleichung (4) durch: 
Vx 2 4- y Ä 4- z- = V x' 2 4- g/ 2 4- 4 2 , so folgt: 
ocf x 
W 2 + y' 2 +T> = C0S ^ ^ V'^ 2 + y, 2 + y 
+ cos Oft y) 
+ cos toi«) + ^ + 
X 
oder, da -,/ 0 . — s = cos (#, x) etc. 
V ar + y 2 + z 2 
üd 
und analog: y~, . 2 ~;^ y. 2 _- g/2 = cos (^a/) = cos {g^) ist, 
so haben wir als Definition des Kosinus eines Blemente- 
paares, wobei ein Zeichenfaktor noch willkürlich ist: 
cos (g 2 g x ) = cos (g 1 x) ■ cos (g 2 x) + cos (g l y) ■ cos (g 2 y) 
+ cos (g 1 z) ■ cos (g 2 s) 
cos (n 2 nj = cos (n v u) ■ cos (n 2 u) + cos (nq v) ■ cos {n 2 v) 
4- cos (n-i iv) ■ cos (n 2 w). 
Sind die Elemente durch ihre Koordinaten gegeben: 
9i = Ui, «i) % = ( u u ®i» %) 
g 2 = (x 2l y 2 , s 2 ) n 2 = (u 2 , v 2 , ?u 2 \ 
so nehmen die Formeln (6) die Gestalt an: 
Xj x 2 + y A y 2 4- 
(7) 
cos ( ^ l} ^ 4- yi 2 + *i 2 ^ 2 2 + y a a + * 2 2 ’ 
u x U‘> 4 «Ga 4 % w 2 
cos -y M - 2 + y 2 y ^a y,y + * 
w 2 2 
Daß die Definition (6) von der Wahl des äquiformen Koor 
dinatensystems (x, y, s) unabhängig ist, ergibt sich sofort, 
wenn man eine orthogonale Transformation ausführt und die 
bekannten Transformationsformeln beachtet (vgl. § 4 b).