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Durch Differentiation nach r ergibt sich für Punkte ausserhalb
d V
dr
d V
= — a £ (n+ 1) — — Qn
n o
n — oo
n a
1-00 / a \ n + -I
2 (n + 1) — • Q-
n = o ' r ’
dr n = o
Dieser Wert geht für die Erdoberfläche, also r — a, über in
d V \ n =oo
——) = - 2 (n + 1) Q„
dr ' r - a n = o
Differentiiert man V' nach r, so erhält man
d V' n - ®o /r\n —-1 1
— Qn und für r — a
dr
d V'
dr
a E
n = o
"(t
n = oo
= E n Q n
r = a n = o
Nach dem allgemeinen Satz über die Flächendichte besteht aber zwischen
dieser und dem Werte der Potentialfunktion nach aussen und innen die
Beziehung:
d V d V' \
-(- I wenn n die normale Richtung
rin' /
4 n ö — —
dn dn
nach aussen und n' die nach innen angibt.
Nun ist
d V'
dr
d VF d V
und
dn'
dr
+
d V
dn
Mithin wird
d V d V'
4 ;r 6 = — I 1
-[(—)
Id dr ’
d V'
dr
4 n o = —
dn dn'
n — oo
-2(n+ 1) Q n - E n Q„
n = o
4tcö = E (2 n + 1) Q„
Es war Z die vertikal nach unten gerichtete Komponente der erd
magnetischen Kraft; es besteht also die Gleichung
d V
dr
r = a
n = oo
Z — — E (n —|- 1) Qn
n = o
n = oo
Ü Z *<= — E (2 n -f" 2) Q „ ; für die Erdoberfläche wird
n = o
V = a E Q„
n = o
V n = oo
E Q n , also
a n — o

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