o 
dH 2 | 
dt ! 
die vom vorigen Schritt übrig gebliebene Integrationskonstante 
c X Q t während die in 
G* = P* G H- C*Q 
auftretende Konstante c 2 G wiederum erst durch den nächsten '[ 
Schritt geliefert wird. Die mechanische Integration liefert 
dann weiter die P 2 P 2 L'> P*G ' n periodischer Form. Es I 
ist nun leicht, nach den obigen Skizzierungen, das einge- i 
schlagene Verfahren weiter fortzusetzen. Schließlich erhält 
man die Delaunayschen Elemente in der folgenden Form: 
OO OO 
l = l*+ -jgy + 2?^” pn L 
i i 
OO 
M — jr ß -t- »° t ■+- S-n //” Q n M etc. 
i 
wo a — o oder i, P, Q rein periodisch und c konstant sind. 
Im Falle der Verwendung Harzer-Poincaröscher Ele 
mente ist bei konsequenter Anordnung der Störungen nach 
Potenzen des Massenparameters fi das Auftreten expliziter 
Zeit im allgemeinen Falle nicht verschwindender Säkular 
bewegung der Apsiden nicht zu vermeiden. Indessen ist man 
keineswegs an diese konsequente Entwicklung gebunden und es 
ist vollständig gleichgültig, ob man eine explizite oder implizite 
Entwicklung nach den Massen vornimmt; man hat nur die 
für die betreffenden Elemente zweckmäßigste Entwicklung in 
Anwendung zu bringen. Bei Beschränkung auf Glieder zweiten 
Grades in g, ij, g', r\' in der Störungsfunktion ist die trigo 
nometrische Form für g, r]- • • bekanntlich leicht herstellbar, 
indem das Problem alsdann sofort auf lineare Differential 
gleichungen mit konstanten Koeffizienten reduzierbar ist. 
Durch eine Reihe kanonischer Transformationen kann man 
schließlich auch mit Rücksicht auf alle Potenzen der Variabein 
nach den Methoden Herrn Poincards im zweiten Bande der 
»Mdthodes nouvelles de la Mdcanique cdleste« die trigono 
metrische Form herstellen. Bestimmt man aber e, e' so, daß 
dg dF 
die Säkularglieder in -- = Tr - etc. fortfallen, unter Voraus- 
d t er] 
Setzung, daß sin 73 == sin 73' = o, also rj = r/ * 1 — o, so 
bedarf es keiner Transformationen zur Herstellung der peri 
odischen Form. In diesem Falle führen die Apsiden eine 
Oszillation um die Anfangslage ohne säkulare Änderung aus. 
Dieser interessante Fall ist, wie schon erwähnt, das Charak 
teristikum der periodischen Lösungen des asteroidischen Drei 
körperproblems und wird nach demselben Verfahren integriert, 
wie oben für die Delaunayschen Elemente. 
Den Übergang auf elliptische 
Elemente brauche ich nicht anzu 
geben. Es bleibt zum Schluß nur 
noch die Transformation der Ja- 
cobischen Koordinaten auf relative 
Koordinaten, d. h. die Reduktion 
der baryzentrischen Koordinaten 
auf heliozentrische. Der heliozen- 
P Irische Abstand ist 
q — r' (i — 2ccff -h 
und ff = — cos V ist. 
wo a 
Bringe ich p auf die Form 
. i — 2aff -h a 2 
i — zacr -h « 2 
so kann man leicht zeigen, daß nach der Theorie der Kugel 
funktionen ; 
OO 
p = r'^\F n (ff) - 2 ff P n _ l (ff) -f- P„_ 2 (ß)l «" 
wo P__ 2 = -P—i = o zu setzen ist. Da a proportional m 
ist, reicht man mit wenigen Gliedern aus. Schließlich ist 
der Winkel <p an der Sonne bestimmt durch 
P 
sin (jp = — sin V = sin a n P n (ff) 
Kapitel IV. 
Die Fundamente periodischer Bahnen. 
Nachdem ich die Darlegung der Konstruktionsmethoden 
für periodische Lösungen nebst den grundlegenden Reihen 
entwicklungen erledigt habe, gehe ich an die Prüfung der 
Fundamente, insbesondere der Bedingungsgleichungen, welche 
die Ausgangswerte der Exzentrizitäten fixieren, nämlich der 
Doppelgleichung; 
d 73 
17 
(0 
wo k =. konst. und —, Funktionen der Halbachsen, 
At’ dt ’ 
der Exzentrizitäten und der Differenz 73 — 73' der Perihel 
längen sind. Die dynamische Interpretation, die Gleichheit 
der Säkularbewegung der Apsidenlinien für die beiden Pla 
neten, ist bereits erwähnt. Die Gleichungen (i) gestatten die 
Bestimmung zweier der Größen e, e', k, sobald die dritte ge 
geben ist und wo die Jacobische Determinante, welche die 
Auflösbarkeit entscheidet, von o verschieden ist, wie leicht 
zu beweisen; indes benutze ich diese Voraussetzung nicht, 
indem ich einen ganz anderen Weg einschlage. 
. . der d 73' 
'“Bei der Darstellung von —— und —— als Potenzreihen 
d^ d^ 
nach den Exzentrizitäten wird man notwendig stets bei einem 
endlichen Gliede abbrechen müssen; die dann folgende Auf 
lösung der Gleichungen nach e, e' darf indes nur dann voll 
zogen werden und die Wurzeln haben nur dann Sinn, wenn