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2) Ist a negativ, so existiert nur das holomorphe 
Integral. Dies trifft für die Gleichung (23) zu. Also muß 
aucli im Falle 1) das holomorphe Integral genommen werden, 
d. h. C" bezw. C* == 0. 
3) Ist a positiv, ganzzahlig, so ist durch die Transfor 
mation (p — — die Gleichung (25) zurückzu 
führen auf folgende: 
t '^r = {a ~ 1)cp ' + *'*+■■■■ 
Wird diese Substitution mehrmals angewandt, so ist die 
Gleichung auf den Fall a = 1 zurückzuführen. Ist nun: 
a) h = 0, so erhalten wir ein eindeutiges Integral. 
Dies tritt bei unsrer Gleichung (24) ein, wenn r = 1 und 
Jt' -f 2Jt + E~ + H~ = 0 ist. 
ß) b -{= 0, so haben wir kein eindeutiges Integral, 
sondern mehrdeutige, die sich in konvergente Reihen nach 
Potenzen von t' und t' • lg t' entwickeln lassen. 
Ist t = 1, so wird i dargestellt als Potenzreihe von y 
T T' 2 \ 
und {Jt' 2 Jt -|- E-j- -\- H~j~ \ y lg y. Daher erhalten 
wir nur, wenn die letztere Klammer verschwindet, ein ein 
deutiges Integral, indem die mit lg y behafteten Glieder 
verschwinden. Nur für diesen Pall wird daher auch 
nicht unendlich, da in i der Term y lg y, der die Unstetigkeit 
hervorrufen würde, fortfällt. 
Ist t eine ganze Zahl und größer als 1, so erhalten 
wir Reihen nach Potenzen von y und y z lg y, so daß für 
cLi/ 
y = 0 auch nicht unendlich wird, da \y ■ lg y\ =0 ist. 
eil L .lg/—0 
Das Resultat dieser Diskussion ist also, daß nur das 
holomorphe Integral nach Potenzen von x oder y fortschreitend 
der Differentialgleichung unter den gegebenen Bedingungen 
genügt, ausgenommen wenn % ganzzahlig. In letzterem Palle 
erhalten wir konvergente Reihen nacli Potenzen von y be 
ginnend mit y und y ■ lg «/, die ebenfalls als eindeutig