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Zum Beweise müssen die Hadamard’schen Entwicklungen 
hier kurz angegeben werden. Hadamard behandelt die 
Bewegung eines Massenpunktes mit beliebiger Kräftefunktion 
auf ganz allgemeinen Flächen. Auf krummlinige Koordinaten 
bezogen sei das Quadrat des Linienelements 
dtr = {Ew 2 + 2 Fu'v' + Gv' 2 ) dt 2 . 
Die Kräftefunktion sei U{u,v). Bei Anwendung der 2ten 
Lagrange’schen Bewegungsgleicbungen 
d U 
du 
d U 
d , 
(d T \ 
dT 
dt 
\ du') 
du 
d 
( dT> 
| ST 
dt 
V dv' ) 
dv 
dv 
gelangt man zu folgenden Differentialgleichungen der Be 
wegung ; 
d 2 u 
(I) 
(eg — F 2 ) 
dP 
G 
SU 
du 
F 
dü 
d v 
0 (y-ßF \ n dE 1 .J3E\ 
+ U \ F du 2 G du 2 F dv) + 
+(I ® 
(EG-F 2 ) 
dG 
du 
cPv 
4 — F 
'2 
dG 
= — F 
d v 
dU 
) 
— G 
+ w 
2 
4 v' 2 
dv 
o 
2 
d_F 
d V 
df 
dE ~ E^ 
du 
T* 
du 
4 u 
dG 1 
4 E 
dF' 
dv 
dU 
E duJ 
d V 
— F 
2 
6 v 
dE 
v 
dG 
V dv du/ 
du 
)• 
V(u, v) sei eine beliebige Funktion von u und v, deren 
partielle Ableitungen folgendermaßen bezeichnet werden: 
d 2 V 
du 2 
Dann ergibt sich 
1) 
3 V 
du 
= ä; 
= P\ 
d 2 V 
du dv 
d V 
dv 
Q\ 
S; 
d 2 V 
dv- 
T. 
dV 
dt 
Pu' 4 Qv'