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der Punkt bewegt. Nach einer Eigenschaft der Gleichung 
dritten Grades ist 
«i «2 + ^3 + «2 = — t 2 , 
also 
% («i + «a) = — {t 2 + «i «0- 
Die rechte Seite der Gleichung ist negativ, da sowohl \z x \ 
wie \z 2 \ kleiner als l ist. Nun war z 8 negativ, also muß 
s x + «2 > 0 
sein. Von den beiden Werten z x und z 2 muß daher not 
wendig einer positiv sein. Es sei dies der Wert z 2 , und 
zwar sei \z 2 \ > |z x |; z x kann dann positiv oder negativ sein. 
Daraus ersieht man, daß der Punkt auf alle Fälle in die 
untere Halbkugel gelangen muß. Ob er auch in die obere 
Halbkugel gelangt, das hängt von der Wahl der Anfangs 
bedingungen ab. Es ist jedoch stets \s x \ < \z 2 \, das heißt: 
die Entfernung des unteren Parallelkreises z = z 2 vom 
Äquator ist stets größer als die Entfernung des oberen 
Parallelkreises z = z x vom Äquator. 
In dem Parallelkreise z = z 2 — s 0 möge die Bewegung 
beginnen. Dort ist z = 0, also 
«0 = r o K » r 0 2 K = C ’ C = r 0 V 0 ] 2 h = t'o 2 — 2gz 0 . 
Diese Werte werden in den Ausdruck für G (z) eingesetzt. 
Da z 0 eine Wurzel des Ausdrucks G{z) ist, so läßt sich 
G(z) ohne Rest durch \z — z 0 \ dividieren. Man kann also 
schreiben 
G(z) = (z — z 0 )[2ff(l 2 —z 3 ) — v 0 2 (z+z 0 )]. 
Nun werde gesetzt z = z n — h, wo h eine kleine positive 
Größe ist, dann wird 
G («) = — h [2 g (V 1 —(z 0 — hf) — v 0 2 (2 z 0 —h) ]. 
G{z) hat während der Bewegung in der Nähe von z = z 0 
einen positiven Wert, also ist der Klammerausdruck negativ. 
Wenn also ztf wirklich der größte Wert ist, den z je 
erreichen kann, d. h. z = z 0 der untere Umkehrkreis der Be 
wegung in der unteren Halbkugel, so ist 
2 g r 0 2 —2 Vq 2 ^ SO;